…और संगीत का जन्म हुआ

“तारों की गूँज में ज्यामिति है। आकाशीय गोलों के बीच की दूरियों में संगीत है।”

“संख्याएँ ब्रह्मांड पर शासन करती हैं।”

“अंतरिक्ष में संख्याएँ ज्यामिति हैं, समय में संख्याएँ संगीत हैं, और अंतरिक्ष तथा समय में संख्याएँ खगोलशास्त्र हैं।”

— पाइथागोरस (५८०–५०० ईसा पूर्व)

अगर आप यह लेख पढ़ रहे हैं, तो मैं मानता हूँ कि संगीत के बारे में कुछ सीखने में आपकी रुचि है—शायद विशेष रूप से भारतीय शास्त्रीय संगीत में। फिर यहाँ किसी गणितज्ञ के ये उद्धरण क्यों हैं? वह भी ऐसे गणितज्ञ के, जिन्हें हममें से अधिकांश स्कूल की ज्यामिति की डरावनी यादों से जुड़े त्रिकोणों के प्रमेय के कारण याद करते हैं।

दरअसल संगीत का गणित से बहुत गहरा संबंध है।

माना जाता है कि मनुष्य का कान २० से २०००० हर्ट्ज़ तक की आवृत्तियाँ सुन सकता है। उम्र बढ़ने पर यह दायरा लगभग ५० से १२००० हर्ट्ज़ रह जाता है। सोचिए, इस दायरे में लाखों आवृत्तियाँ हैं। फिर कुछ आवृत्तियाँ मधुर क्यों लगती हैं और कुछ नहीं?

लेकिन कोई एक आवृत्ति या स्वर अपने-आप में कुछ नहीं कहता। संगीत तब बनता है जब दो या अधिक स्वर एक-दूसरे के संबंध में अनुभव किए जाते हैं—साथ-साथ, जैसे कॉर्ड में; या क्रम से, जैसे किसी धुन में।

भारतीय शास्त्रीय पद्धति में हर स्वर का नाम है—सा, रे, ग, म, प, ध, नि। पश्चिमी पद्धति में इनके समकक्ष दो, रे, मी, फ़ा, सो, ला, टी हैं। ये छोटे नाम वास्तव में संक्षिप्त रूप हैं—सा यानी षड्ज, ग यानी गांधार, प यानी पंचम, इत्यादि।

संस्कृत में षड्ज शब्द का शाब्दिक अर्थ है बाकी छह का जनक। दूसरे शब्दों में, सा से बाकी छह स्वर जन्म लेते हैं। भारतीय धुनों में सा आधार होता है और पृष्ठभूमि में तानपुरे की गूँज के रूप में प्रमुखता से बजता रहता है।

स्कूल के भौतिक विज्ञान से हम जानते हैं कि किसी स्वर की आवृत्ति दोगुनी होने पर वह आधार स्वर जैसा सुनाई देता है और उसे अगले सप्तक का स्वर कहते हैं। अगर सा की आवृत्ति एक्स हर्ट्ज़ है, तो ऊपरी सा की २ × एक्स हर्ट्ज़ होगी। बाकी सभी स्वर एक्स और २ × एक्स के बीच होने चाहिए। फिर भी लाखों संभावनाएँ बचती हैं।

बाकी स्वरों को खोजने का उत्तर एक और महत्त्वपूर्ण अवधारणा में है—षड्ज-पंचम भाव, यानी सा और पाँचवें स्वर प का संबंध।

प की आवृत्ति सा और ऊपरी सा के ठीक बीच पड़ती है। यानी सा एक्स हर्ट्ज़ और ऊपरी सा २ × एक्स हर्ट्ज़ हो, तो प की आवृत्ति ३/२ × एक्स या १.५ × एक्स हर्ट्ज़ होगी। अच्छा, इससे एक और स्वर मिल गया। बाकी कैसे मिलेंगे?

षड्ज-पंचम भाव और क्यों महत्त्वपूर्ण है? नीचे पियानो की कुंजियाँ देखिए। पहले सप्तक में सी को सा मानकर पाँचवाँ शुद्ध स्वर बजाएँ—अर्धस्वर या कोमल स्वर गिनने पर आठवीं कुंजी—तो प मिलता है। प से फिर आठ कुंजियाँ गिनें, अर्थात प का प लें, तो रे मिलता है। रे से आठ कुंजियाँ गिनें, यानी रे का प लें, तो ध मिलता है। इसी तरह आगे बढ़ते हुए आश्चर्यजनक रूप से १२ स्वरों के बाद चक्र पूरा होता है और हम फिर सा पर पहुँचते हैं।

इसे पंचमों का चक्र, यानी सर्कल ऑफ़ फ़िफ़्थ्स, कहते हैं।

अब सभी स्वरों की सटीक आवृत्तियाँ निकालना संभव है। उदाहरण के लिए:

• सा = १०० हर्ट्ज़
• प = ३/२ × १०० = १५० हर्ट्ज़
• रे = ३/२ × ३/२ × १०० = २२५ हर्ट्ज़। यह दूसरे सप्तक का रे है। इसे २ से भाग देने पर आधार सप्तक का रे ११२.५ हर्ट्ज़ मिलता है।
• ध = ३/२ × ३/२ × ३/२ × १०० हर्ट्ज़, और इसी तरह आगे।

इस तरह षड्ज-पंचम भाव और पंचमों के चक्र से हमने गणित के सहारे १२ स्वर निकाल लिए। लेकिन आप सोच रहे होंगे कि षड्ज-पंचम भाव में इतना विशेष क्या है। उस प्रश्न का उत्तर किसी अगले लेख में दूँगा।

और जाते-जाते एक गणित की पहेली:

पंचमों के चक्र में १२ कदम चलकर हम वापस सा तक पहुँचे। अगर शुरुआती सा की आवृत्ति एफ हर्ट्ज़ थी, तो १२ कदम बाद मिले सा की आवृत्ति ३/२ × ३/२ × ३/२ … (१२ बार) × एफ हर्ट्ज़ होनी चाहिए। यानी ३^१२/२^१२ × एफ, या १२९.७४६३ × एफ हर्ट्ज़।

लेकिन ऊपर की कुंजियों से दिखता है कि यह सा आधार सा से सातवें सप्तक पर है। यानी २^७ × एफ हर्ट्ज़। या १२८ हर्ट्ज़।

दो सुसंगत गणितीय तरीकों से एक ही स्वर तक पहुँचने पर दो अलग परिणाम कैसे मिल सकते हैं?

अगर आपके पास इसका उत्तर है, तो मुझे जानकर खुशी होगी।