…आणि संगीत जन्माला आले

“तारांच्या गुंजनात भूमिती आहे. आकाशीय गोलांमधील अंतरांत संगीत आहे.”

“संख्या विश्वावर राज्य करतात.”

“अवकाशातील संख्या म्हणजे भूमिती, काळातील संख्या म्हणजे संगीत, आणि अवकाश व काळातील संख्या म्हणजे खगोलशास्त्र.”

— पायथागोरस (५८०–५०० इ.स.पूर्व)

तुम्ही हा लेख वाचत आहात, म्हणजे संगीताविषयी—बहुधा भारतीय शास्त्रीय संगीताविषयी—थोडे जाणून घेण्यात तुम्हाला रस आहे, असे मी गृहीत धरतो. मग इथे एका गणितज्ञाची ही वचने कशासाठी? विशेषतः शाळेतील भूमितीच्या धडकी भरवणाऱ्या आठवणींशी जोडलेल्या त्रिकोणाच्या प्रमेयामुळे आपल्या लक्षात राहिलेल्या गणितज्ञाची!

खरे तर संगीताचा गणिताशी खूप जवळचा संबंध आहे.

मानवी कान २० ते २०००० हर्ट्झ या पट्ट्यातील वारंवारता ऐकू शकतो, असे मानले जाते. वय वाढल्यावर हा पट्टा साधारण ५० ते १२००० हर्ट्झ होतो. यात लाखो वारंवारता येतात. मग काहीच वारंवारता गोड का वाटतात आणि इतर का नाही?

मात्र एकटी वारंवारता किंवा एकटा स्वर स्वतःहून काही सांगत नाही. दोन किंवा अधिक स्वर एकमेकांच्या संदर्भात ऐकू येतात तेव्हा संगीत तयार होते—एकाच वेळी, जसे कॉर्डमध्ये; किंवा एकामागोमाग, जसे धुनीत.

भारतीय शास्त्रीय पद्धतीत प्रत्येक स्वराला नाव आहे—सा, रे, ग, म, प, ध, नि. पाश्चात्त्य पद्धतीतील दो, रे, मी, फा, सो, ला, टी यांच्याशी ते जुळतात. ही नावे संक्षिप्त रूपे आहेत—सा म्हणजे षड्ज, ग म्हणजे गांधार, प म्हणजे पंचम, वगैरे.

संस्कृतमध्ये षड्जचा शब्दशः अर्थ उरलेल्या सहांचा जनक असा होतो. म्हणजे सा इतर सहा स्वरांना जन्म देतो. कोणत्याही भारतीय धुनीचा आधार सा असतो आणि पार्श्वभूमीला तानपुऱ्याच्या नादातून तो ठळकपणे ऐकू येतो.

शाळेतील भौतिकशास्त्रातून आपल्याला ठाऊक आहे की एखाद्या स्वराची वारंवारता दुप्पट झाली, की तो मूळ स्वरासारखाच ऐकू येतो; तो पुढच्या सप्तकातील स्वर असतो. सा एक्स हर्ट्झ असेल, तर वरचा सा २ × एक्स हर्ट्झ असेल. इतर सर्व स्वर एक्स आणि २ × एक्स यांच्या दरम्यान असायला हवेत. तरीही लाखो शक्यता उरतात.

सर्व स्वर शोधण्याचे उत्तर आणखी एका महत्त्वाच्या संकल्पनेत आहे—षड्ज-पंचम भाव, म्हणजे सा आणि प या पाचव्या स्वरातील नाते.

पची वारंवारता सा आणि वरचा सा यांच्या नेमकी मध्यावर येते. सा एक्स हर्ट्झ आणि वरचा सा २ × एक्स हर्ट्झ असेल, तर प हा ३/२ × एक्स किंवा १.५ × एक्स हर्ट्झ असेल. छान, आणखी एक स्वर सापडला. बाकीच्यांचे काय?

षड्ज-पंचम भाव आणखी कशामुळे महत्त्वाचा आहे? खाली पियानोच्या पट्ट्या पाहा. पहिल्या सप्तकातील सीला सा मानून पाचवा शुद्ध स्वर वाजवला—अर्धस्वर किंवा कोमल स्वर धरून आठवी पट्टी—तर प मिळतो. पपासून आठ पट्ट्या मोजल्या, म्हणजे पचा प घेतला, तर रे मिळतो. रेपासून आठ पट्ट्या मोजल्या, म्हणजे रेचा प घेतला, तर ध मिळतो. असे पुढे गेल्यावर आश्चर्य म्हणजे १२ स्वरांनंतर चक्र पूर्ण होते आणि आपण पुन्हा सावर येतो.

यालाच पंचमांचे चक्र, म्हणजे सर्कल ऑफ फिफ्थ्स, म्हणतात.

आता या सर्व स्वरांच्या अचूक वारंवारता काढता येतात. उदाहरणार्थ:

• सा = १०० हर्ट्झ
• प = ३/२ × १०० = १५० हर्ट्झ
• रे = ३/२ × ३/२ × १०० = २२५ हर्ट्झ. हा दुसऱ्या सप्तकातील रे आहे. म्हणून २ ने भागल्यास मूळ सप्तकातील रे ११२.५ हर्ट्झ मिळतो.
• ध = ३/२ × ३/२ × ३/२ × १०० हर्ट्झ, आणि असेच पुढे.

अशा प्रकारे षड्ज-पंचम भाव आणि पंचमांच्या चक्रातून आपण गणिताने १२ स्वर मिळवले. पण षड्ज-पंचम भावात इतके खास काय, हा प्रश्न तुम्हाला पडला असेलच. त्याचे उत्तर पुढील एखाद्या लेखात देईन.

आणि निरोप घेण्यापूर्वी एक गणिती कोडे:

पंचमांच्या चक्रात १२ पावले टाकून आपण पुन्हा सापाशी आलो. सुरुवातीच्या साची वारंवारता एफ हर्ट्झ असेल, तर १२ पावलांनंतरच्या साची वारंवारता ३/२ × ३/२ × ३/२ … (१२ वेळा) × एफ हर्ट्झ असायला हवी. म्हणजे ३^१२/२^१२ × एफ, किंवा १२९.७४६३ × एफ हर्ट्झ.

पण वरच्या पट्ट्यांवरून दिसते की हा सा मूळ साच्या सातव्या सप्तकातील आहे. म्हणजे २^७ × एफ हर्ट्झ. किंवा १२८ हर्ट्झ.

दोन सुसंगत गणिती पद्धतींनी एकाच स्वरापाशी पोहोचताना दोन वेगवेगळी उत्तरे कशी मिळतात?

तुमच्याकडे उत्तर असेल, तर ते ऐकायला मला आवडेल.